Kuyruk Teorisi Giriş

Kuyruk, bir şeyin bekleyen insanlar veya araçlarının oluşturduğu bir sıradır. Kuyruk teorisi ise, bekleyen hatların matematiksel analizini içeren ve varış, hizmet ve ayrılma süreçlerinde sonuçları ve fırsatları gösteren bir matematiksel çalışmadır.

Karakteristikler

Kuyruk teorisinin temel karakteristikleri şunlardır:

– Bekleyen hatların matematiksel modellenmesi

– Varış, hizmet ve ayrılma süreçlerinde sonuçların gösterilmesi

– Bekleme hatlarında fırsatların incelenmesi

Önemi

Kuyruk teorisi, birçok alanda önemlidir çünkü:

– Bekleyen hatlardaki performansı analiz etmek ve optimize etmek için kullanılabilir.

– Sistemlerin kapasite ihtiyacını belirlemek için kullanılabilir.

– Müşteri hizmetini iyileştirmek için kullanılabilir.

Modeller ve Varsayımlar

Kuyruk teorisi modelleri, bekleyen hatların özelliklerini belirlemek için kullanılır. Bu modeller, genellikle belirli varsayımlara dayanır:

– Müşteri varışları ve hizmet süreleri belirli bir olasılık dağılımını takip eder.

– Sunucu sayısı ve kuyruk disiplini belirli bir şekilde tanımlanır.

Örnekler ve Ölçümler

Kuyruk teorisi, birçok endüstriyel ve işletme alanında kullanılabilir. Örneğin:

– Ticari hizmet sistemleri (berber dükkanları, banka şubeleri)

– Ulaşım sistemleri (havalimanları, trafik ışıkları)

– İş veya endüstriyel sistemler (üretim hatları)

Kuyruk Teorisi ve Tedarik Zinciri Yönetimi (TZY)

Kuyruk teorisi, TZY’deki birçok sorunun modellemesi için önemli bir araçtır. Özellikle, müşterilerin bir hatta oluşturduğu ve bir hizmet veya üretim tesisinde hizmet edilmeyi beklediği durumları incelemek için kullanılabilir.

Kuyruk Teorisi, sistemin kapasitesini ve performansını belirlemek için değerli bir araçtır. Bu teori, müşteri memnuniyetini artırmak ve tesislerin verimliliğini optimize etmek için kullanılabilir.

Kuyruk Teorisi karmaşık problemler için uygun değildir. Birçok karar noktası ve alınacak yol olduğunu gördük. Bu durum sıkıcı, kafa karıştırıcı, zaman alıcı ve sonunda işe yaramaz hale gelebilir.

Dış müşteriler (Ticari Hizmet Sistemleri):

– Berber dükkanları, banka şubeleri, kafeterya sıraları

Ulaşım Sistemleri:

– Havalimanları, trafik ışıkları

Sosyal Hizmet Sistemleri:

– Adalet sistemi, sağlık hizmetleri

İş veya Endüstriyel Sistemler:

– Üretim hatları

Tedarik Zinciri Yönetimi, birçok problemi çözmek için simülasyonlar ve matematik kullanır. Kuyruk Teorisi, birçok tedarik zinciri problemi için modelleme için önemli bir araçtır. Müşterilerin (veya müşteriler tarafından verilen siparişlerin) bir hat oluşturduğu ve bir hizmet veya üretim tesisinin hizmet etmeyi beklediği durumları incelemek için kullanılır. Açıkça, uzun hatlar yüksek yanıt sürelerine ve memnuniyetsiz müşterilere neden olur. Kuyruk Teorisi, üretim tesislerinde gerekli kapasite düzeyini ve hizmet tesislerinde gerekli personel seviyelerini belirlemek için kullanılabilir, beklenen talebi karşılamak için gereken nominal ortalama kapasiteyi aşmadan önce.

Araştırma problemleri:

– Lojistik

– Ürün programlama

– vb.

Müşteriler: Bağımsız varlıklar, rastgele zamanlarda bir sunucuya gelir ve bir tür hizmet bekler, sonra ayrılır.

Sunucu: Yalnızca bir müşteriye aynı anda hizmet edebilir; hizmet süresi türüne bağlıdır. Müşterilere ilk gelen, ilk hizmet verilir (FIFO).

Zaman: Gerçek, sürekli, zaman.

Kuyruk: Sunucuya varmış ve hizmetlerinin başlamasını bekleyen müşteriler.

Zaman t’de Kuyruk Uzunluğu: O anda kuyrukta bulunan müşteri sayısı.

Bekleme Süresi: Bir müşterinin sunucuya varışı ile sunucunun hizmeti başlatması arasındaki süre.

Ortalama kuyruk uzunluğu veya ortalama müşteri sayısı (N), aşağıdaki denklemle belirlenebilir:

N = λ * T

lambda ortalama müşteri varış hızıdır ve T bir müşteri için ortalama hizmet süresidir.

* Akış süresini azaltmanın yollarını bulmak, maliyetleri düşürmek ve kazançları artırmak için yol gösterebilir.

Poisson (veya rasgele) süreçler: Hem varış sürelerinin hem de hizmet sürelerinin dağılımının üstel dağılımı izlediği anlamına gelir. Bu üstel dağılımın matematiksel doğası nedeniyle, varış hızı ve hizmet hızına bakarken bize pek çok performansa dayalı ilişki bulmamıza yardımcı olur.

Poisson süreci: Müşterilerin birer birer geldiği ve geliş arasındaki aralığın bağımsız rasgele değişkenlerle tanımlandığı bir varış süreci.

Müşteriler ne zaman gelir?

Belirli bir zamanda müşteri varışları artar mı (restoran – Denny’s: kahvaltı, öğle yemeği, akşam yemeği) Yoksa müşteri trafiği daha rastgele mi dağılmıştır (bir kafe – Starbucks)?

Hangi tür Kuyruk hattına bağlı olarak, müşteriler ne kadar zaman harcayacak?

Müşteriler tipik olarak sabit bir sürede mi ayrılırlar?

Müşteri hizmet süresi müşteri tipine göre değişir mi?

Varış Süreci: Sisteme gelen müşterileri belirleyen olasılık dağılımı.

Hizmet Süreci: Sistemde müşteri hizmet sürelerini belirler.

Sunucu Sayısı: Müşterilere hizmet vermek için kullanılabilir sunucu miktarı.

Kuyruk sistemleri daha sonra A/S/n olarak sınıflandırılabilir:

A (Varış Süreci) ve S (Hizmet Süreci) aşağıdaki herhangi biri olabilir:

Markov (M): üstel olasılık yoğunluğu (Poisson Dağılımı)

Deterministik (D): Müşteri varışları tutarlı bir şekilde işlenir

“N”: Sunucu sayısı

“G”: Genel, sistemde “n” adet sunucu bulunur

A = varış dağılımı için harf

• B = hizmet dağılımı için harf

• x = hizmet kanalı sayısı

• y = kuyrukta izin verilen müşteri sayısı

• z = kuyruk disiplini

M/M/1 (A/S/n)

Varış Dağılımı: Poisson oranı (M), üstel olasılığı kullanmanız gerektiğini belirtir.

Hizmet Dağılımı: Yine M, üstel olasılığı işaret eder.

1, sunucu sayısını temsil eder.

M/D/n

– Varış süreci Poisson’dur, ancak hizmet belirli bir nedenseldir.

Sistemde n sunucu bulunmaktadır.

Örnek: n kasaya sahip bir bilet rezervasyon sayacı.

G/G/n

– Geliş ve hizmet süreçlerinin her ikisi de rastgele olan genel bir sistem.

M/M/1 kuyruk sistemleri bir Poisson varış sürecini varsayar.

Bu varsayımlar, gerçek sistemlerde varış süreci için iyi bir yaklaşımdır:

Sistemdeki müşteri sayısı çok büyüktür.

Tek bir müşterinin sistemin performansı üzerindeki etkisi çok küçüktür (tek bir müşteri sistemin kaynaklarının çok küçük bir yüzdesini tüketir).

Tüm müşteriler bağımsızdır (sistemi kullanma kararları diğer kullanıcılardan bağımsızdır).

Otoyoldaki Arabalar

Otoyolda seyreden toplam araba sayısı çok büyüktür.

Bir araba, otoyol kaynaklarının çok küçük bir yüzdesini kullanır.

Otoyola girme kararı her araba sürücüsü tarafından bağımsız olarak alınır.

M/M/1: Sistem yalnızca bir sunucudan oluşur. Bu kuyruk sistemi, çok sayıda müşteriye sahip herhangi bir sistem için geniş bir yelpazede uygulanabilir.

M/D/n: Burada varış süreci Poisson’dur ve hizmet süre dağılımı nedenseldir. Sistemde n sunucu bulunmaktadır. Tüm müşteriler aynı şekilde işlendiğinden, hizmet süresinin tüm müşteriler için aynı olduğu varsayılabilir.

G/G/n: Bu, varış ve hizmet süreçlerinin her ikisinin de keyfi olduğu en genel kuyruk sistemidir. Sistemde n sunucu bulunmaktadır.

Kullanıcıya farklı senaryoları hızlı, doğru ve kolayca değerlendirme imkanı sağlar.

Sorunların nerede ortaya çıkabileceğini görsel olarak tasvir ederek gelecekteki hataları düzeltmek için zaman sağlar.

Geniş bir yelpazede uygulanabilir.

Poisson Dağılımı ve hizmet süresi gibi varsayımlara dayanır.

Değişkenlik laneti – değişkenlik arttıkça sıkışıklık ve bekleme süresi artar.

Modelin basitleştirilmesi

Matematiksel modeller, gerçek dünya çözümlerini bulmaya kısıtlama getirir.

Örneğin: Sıklıkla sonsuz müşteriler, kuyruk kapasitesi, hizmet süresi gibi varsayımlar yapılır, ancak gerçekte böyle sınırlamalar vardır.

Modelin sorunsuz çalışması için insan davranışlarına ve özelliklerine aşırı derecede bağımlıdır.

Bir populasyon, ya sonsuz ya da sonlu bir kaynaktan oluşur.

Sunucu sayısı, kanallar (her sunucunun kapasitesi) veya sunucu sayısıyla ölçülebilir.

Kanallar esasen hatlardır.

İş istasyonları, bir kuyruk sistemindeki aşamalar olarak sınıflandırılır.

Tek Kanallı Tek Aşama: Kamyonların bir limana gönderi boşaltması.

Tek Hatlı Çok Aşama: Ali sürücüsü doğrudan -> Sipariş + Ödeme/Teslimat

Çok Hatlı Tek Aşama: Mehmet sürücüsü doğrudan – Eczanesi

Çok Hatlı Çok Aşama: Hastane Polikliniği, Çok Uzmanlık

Bekleyen ortalama müşteri sayısı (kuyrukta veya sistemde)

Ortalama bekleme süresi

Kapasite kullanımı

Kapasite maliyeti

Gelen bir müşterinin ne kadar bekleyeceği ve eğer bekleyecekse ne kadar süreyle bekleyeceği olasılığı.

İki basit tek sunuculu model, anlamlı sorulara cevap verirken aynı zamanda kullanım ve değişkenlik lanetiyle başa çıkmaya yardımcı olur.

Bir model değişken hizmet süresini varsayar, diğeri ise sabit hizmet süresini varsayar.

1: Sistem durağan bir durumdadır. Ortalama varış hızı, ortalama ayrılma hızına eşittir.

2: Ortalama varış hızı sabittir. Bu hız, müşterilerin sıra uzun olduğunda ayrılmayacağı anlamında bağımsızdır.

3: Ortalama hizmet hızı sabittir. Bu hız, sunucuların sıra uzadığında hızlanmayacağı anlamında bağımsızdır.

λ = ortalama varış hızı = bir dönemde sisteme gelen birimlerin ortalama sayısı.

1/λ = ortalama varış süresi, varışlar arasındaki zaman.

μ = sunucu başına ortalama hizmet hızı = bir sunucunun bir dönemde işleyebileceği birimlerin ortalama sayısı.

1/μ = ortalama hizmet süresi

m = sunucu sayısı

λ (ortalama varış hızı) = bir gişeden saatte 200 araç

Eğer bir gişede para değişimini ortalama 30 saniye sürüyorsa, o zaman:

μ (ortalama varış süresi) = 1/30 araba/saniye

60 saniye/dakika * 1/30 araba/saniye = 2 araba/dakika

2 araba/dakika * 60 dakika/saat = saatte 120 araba

Bu durumda, saatte 200 araba (λ) gelirken ve sadece saatte 120 araba hizmet ediliyorsa (μ), λ/μ oranı 1.67 olur, bu da gişenin geçen arabaları karşılamak için 2 sunucuya ihtiyacı olduğu anlamına gelir.

Sistem Kullanımı = Sunucunun meşgul olduğu zamanın oranı.

Sisteme giren bir kişinin veya birimin sistemde geçirdiği ortalama zaman (Kuyrukta veya Hizmette)

Bir kişinin veya birimin hizmet beklediği ortalama zaman (Kuyrukta)

Sistemin içindeki ortalama kişi veya birim sayısı (Kuyrukta veya Hizmette)

Hizmet için sırada bekleyen ortalama kişi veya birim sayısı (Kuyrukta)

Sisteme n birim olma olasılığı (Kuyrukta veya Hizmette)

mμ = Toplam Hizmet Hızı = Sunucu Sayısı * Her Bir Sunucunun Hizmet Hızı

Sistem Kullanımı = Varış Hızı/Toplam Hizmet Hızı = λ/mμ

Ortalama Sistem Zamanı = Ortalama kuyrukta geçen süre + ortalama hizmet süresi

Ortalama sistemdeki birim sayısı = ortalama kuyruktaki birim sayısı + ortalama hizmetteki birim sayısı

Ortalama sistemdeki birim sayısı = varış hızı * ortalama sistemde geçen süre

Ortalama kuyruktaki birim sayısı = varış hızı * ortalama kuyrukta geçen süre

Bu formüllerin mantıklı olduğu görülebilir, ancak bu formüllerin değerleri kolayca belirlenebilir ancak varış sürelerinin ve hizmet sürelerinin zamanlama değişkenliğine bağlıdır. Aşağıdaki kuyruk modellerindeki varyansın doğasına bağlıdır:

Sürüş Yolu Örneği:

Bir araba sipariş veriyorsa, o zaman birim “hizmette” bulunur.

Hizmetteki arabanın arkasında iki araba bekliyorsa, o zaman iki birim “kuyrukta” bulunur.

Bu durumda, tüm sistem 3 müşteriden oluşur.

Yüzde yüz kullanım, kaynakların maksimum potansiyelde kullanılması açısından iyi görünebilir, ancak bu kötü hizmet veya performansa yol açabilir.

Ortalama akış zamanı, kaynak kullanımı %100’e yaklaştıkça hızla artar.

Örneğin, bir kişi önümüzdeki dönemde sadece 3 ders alıyorsa, akademik açıdan zamanlarını daha fazla kullanan 5 ders alan birinden daha kolay bir şekilde görevleri tamamlama eğilimindedir.

Hizmet süresinden varyansı çıkardığınızda, hatlar azalır ve bekleme süresi de azalır. Dolayısıyla, değişkenlik arttıkça, hat sıkışıklığı ve bekleme süreleri de artar.

Değişkenliğin değişikliklere hassasiyeti, kullanım arttıkça artar.

Bu nedenle, varyansı azaltmaya çalıştığınızda, sistem yüksek kaynak kullanımı olan sistemlerde daha büyük ödeme yapma eğilimindedir.

Dışa dönük dağılım yüksek bir değişkenlik derecesini gösterir; hizmet süresinin standart sapması ortalama hizmet süresine eşittir.

Sabit hizmet süreleri hiçbir değişkenlik göstermez. Dolayısıyla, gerçek performans, M/M/1 (Exp.) modelinin öngördüğünden daha iyidir ve M/D/1 (Const.) modelinin öngördüğünden daha kötüdür.

İki örnekle tamamlayalım yazıyı:

Hava Trafik Sistemi Örneği: Hava trafik kontrolünde, kuleye yaklaşan ve havalanan uçaklar sık sık bir kuyruk oluşturur. Bu kuyruklar, uçuş planlarının, hava koşullarının ve havaalanı trafiğinin bir kombinasyonu tarafından etkilenir. Örneğin, yoğun bir havaalanında iniş sırasını bekleyen uçaklar, bir kuyruk oluştururken, havaalanı dışında bekleyen uçaklar da bir kuyruk oluşturabilir. Kuyruk teorisi, hava trafik yönetimindeki uçakların varış süreleri ve havaalanı kuyruklarının yönetimindeki etkinlikler gibi konuları analiz etmek için kullanılabilir.

Otomotiv Boya Prosesi Örneği: Otomotiv endüstrisinde, boya prosesi sıklıkla bir kuyruk oluşturur. Örneğin, bir otomobilin boyanması için farklı aşamalardan geçmesi gerekebilir: astarlama, renklendirme ve cilalama gibi. Bu aşamalar arasında bekleyen araçlar, boya kabininin kapasitesine, işçi sayısına ve boya prosesinin her bir aşamasının süresine bağlı olarak kuyruklar oluşturur. Kuyruk teorisi, boya prosesinin verimliliğini artırmak için optimal kapasite ve işçi düzenlemelerini belirlemek için kullanılabilir.

Kuyruk teorisi, hava trafik sistemlerinden otomotiv üretimine kadar birçok alanda önemli bir rol oynar. Bu teori, kuyrukların oluşumunu ve yönetimini anlamak için matematiksel bir çerçeve sağlar, böylece işletmeler verimliliklerini artırabilir ve müşteri deneyimini iyileştirebilir.